L’indovinello dei calzini: soluzione
Eccomi nuovamente con un nuovo indovinello pronto per voi, come ve la cavate con i calzini? Questa volta mi sono imbattuto in un indovinello un po’ diverso dal solito. Non è il classico sistema di primo grado da risolvere come abbiamo visto per esempio nell’indovinello del body builder, quello degli orologi e delle calcolatrici o quello che vi ho proposto per Pasqua.
Questa volta è un indovinello dove potrebbe servire una minima conoscenza di calcolo delle probabilità o in alternativa un po’ di buon senso.
Vediamo insieme l’indovinello e, ovviamente, la sua soluzione.
Il testo dell'indovinello dei calzini
Ecco il testo del nostro indovinello:
Ho un cassetto con 16 paia di calzini bianchi o neri. Se so che pescando due paia a caso ho la certezza di prenderne almeno uno di calzini bianchi, quante sono le paia di calzini bianchi e quanti neri?
Ragioniamo in termini probabilistici
Nell’indovinello dei calzini sappiamo che il totale delle paia di calzini sono 16 ma non so quale sia la distribuzione quindi all’inizio possiamo dire di avere X calzini neri e 16-X calzini bianchi.
La prima estrazione
Estraiamo il primo paio di calzini. Visto quanto appena detto sappiamo che il primo estratto può essere bianco o nero. E visto il numero di calzini possiamo anche dire che:
- La probabilità di estrarre un paio di calzini neri è X/16
- La probabilità di estrarre un paio di calzini bianchi è (16-X)/6
Ovviamente, estraendo un paio di calzini cambierà il nostro insieme di riferimento scendendo a 15 paia. Questo nuovo insieme può avere due configurazioni a seconda di cosa abbiamo pescato al primo giro.
Il nuovo insieme
Il nuovo insieme dove calcolare la seconda estrazione può essere il seguente:
- Se al primo giro abbiamo estratto un calzino nero avremo X-1 calzini neri e 16-X calzini bianchi.
- Se al primo giro abbiamo estratto un calzino bianco avremo X calzini neri e 15-X calzini bianchi.
Le nuove probabilità
- La seconda estrazione ha quindi le seguenti probabilità se al primo giro abbiamo estratto un calzino nero:
- La probabilità di estrarre un calzino nero al secondo giro è (X-1)/15
- La probabilità di estrarre un calzino bianco al secondo giro è (16-X)/15
- La probabilità di estrarre un calzino nero al secondo giro è (X)/15
- La probabilità di estrarre un calzino bianco al secondo giro è (15-X)/15
Calcola la soluzione
L’indovinello del calzino vi dice che alla seconda estrazione siete sicuri di avere almeno un paio di calzini bianchi.
Quindi di fatto volete calcolare la probabilità di estrarre un calzino bianco o al primo giro o al secondo o in entrambi i giri. E questa probabilità deve essere uguale a 1 (l’evento certo). Non vi completo tutti i calcoli perchè sarebbe in primis noioso e secondariamente perchè esiste un metodo più veloce e più semplice.
Un metodo molto più intuitivo...
L’indovinello dice chiaramente che dopo due estrazioni abbiamo la certezza di avere almeno un paio di calzini bianchi in mano.
Di fatto stiamo dicendo che le mie estrazioni possono essere solamente BN NB BB. Soffermiamoci sul caso sfortunato ovvero quello dove al primo giro estraggo un calzino nero.
In questa situazione rischierei di non rispettare l’enunciato se al secondo giro estraessi un paio di calzini neri. Ma se ho la certezza di avere sempre dei calzini bianchi dopo due estrazioni, in questo caso vuol dire che dopo la prima estrazione del calzino nero nel cassetto restano solo calzini bianchi. Questo mi da la certezza di rispettare l’enunciato. Di fatto in questo caso sfortunato, abbiamo estratto l’unico paio di calzini neri presenti nel mio cassetto.
Quindi il mio cassetto ha un paio di calzini neri e 15 paia di calzini bianchi.
E voi?
Avete risolto l’indovinello? Preferite l’approccio statistico o quello a buon senso?
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